గణితంపై పట్టు.. కొలువులు పట్టు

APPSC గ్రూప్–2, 2026

ఆంధ్రప్రదేశ్‌ పబ్లిక్‌ సర్వీస్‌ కమిషన్‌ నిర్వహించే గ్రూప్‌–2 పరీక్షకు సిద్ధమవుతున్న అభ్యర్థులు ప్రతి అంశంపైనా స్పష్టమైన అవగాహన పెంచుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది. ముఖ్యంగా గణిత మేధా సామర్థ్య విభాగాన్ని తక్కువ సమయంలో ఎక్కువ మార్కులు సాధించే అవకాశంగా భావించాలి. గణితం అంటే కేవలం సూత్రాలను కంఠస్థం చేసుకోవడం మాత్రమే కాదు. ప్రశ్నను అర్థం చేసుకోవడం, సరైన సూత్రాన్ని గుర్తించడం, లెక్కను వేగంగా పూర్తి చేయడం, వచ్చిన సమాధానం సరైనదో కాదో అంచనా వేయడం వంటి నాలుగు అంశాలు ఇందులో కీలకం. పోటీ పరీక్షల్లో గణిత ప్రశ్నలు సాధారణంగా విద్యార్థి లెక్కించే సామర్థ్యంతో పాటు తార్కిక ఆలోచనా విధానాన్ని కూడా పరీక్షిస్తాయి. అందువల్ల పాఠ్యపుస్తకాల్లోని గణితాన్ని చదవడంతోపాటు పోటీ పరీక్షల ప్రశ్నల నమూనాలను అర్థం చేసుకోవాలి. ఒకే అంశంపై సులభమైన ప్రశ్న నుంచి క్లిష్టమైన ప్రశ్న వరకు సాధన చేయడం ద్వారా అభ్యర్థులు తమ వేగాన్ని, కచ్చితత్వాన్ని పెంచుకోవచ్చు.

గణితాన్ని చూసి భయపడకండి

చాలామంది అభ్యర్థులు గణితంపై మొదటి నుంచే భయం పెంచుకుంటారు. ముఖ్యంగా చిన్న వయసులో గణితంలో ఇబ్బందులు ఎదుర్కొన్నవారు పోటీ పరీక్షల సమయంలో కూడా అదే భయాన్ని కొనసాగిస్తారు. వాస్తవానికి పోటీ పరీక్షల గణితంలో ప్రతి ప్రశ్నను పెద్ద లెక్కగా చూడాల్సిన అవసరం లేదు. ప్రశ్నలో ఇచ్చిన సమాచారాన్ని గుర్తించి, దానికి సరిపోయే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే చాలావరకు ప్రశ్నలను తక్కువ సమయంలో పరిష్కరించొచ్చు. రోజుకు కొద్దిసేపైనా క్రమం తప్పకుండా సాధన చేయడం గణితంలో విజయానికి ప్రధాన మార్గం. ఒకరోజు ఐదు గంటలు చదివి, తరువాత నాలుగు రోజులు గణితాన్ని పట్టించుకోకుండా ఉండటం కంటే ప్రతిరోజూ ఒకటి నుంచి రెండు గంటలు సాధన చేయడం ఎక్కువ ప్రయోజనకరం.

సంఖ్యా వ్యవస్థపై పట్టు

గణిత సాధనను సంఖ్యా వ్యవస్థతో ప్రారంభించడం మంచిది. సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, బేసి సంఖ్యలు, సరి సంఖ్యలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, సంయుక్త సంఖ్యలు వంటి అంశాలపై స్పష్టత ఉండాలి. అలాగే భాగాహార నియమాలు, గరిష్ఠ సామాన్య హరము, కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం, శేషాలు, స్థాన విలువ వంటి అంశాలను సాధన చేయాలి. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల మధ్య సంబంధాన్ని గుర్తించే ప్రశ్నలకు సంఖ్యా వ్యవస్థపై అవగాహన ఎంతో ఉపయోగపడుతుంది.ఉదాహరణకు 2, 3, 5, 9, 10, 11 వంటి సంఖ్యల భాగాహార నియమాలను త్వరగా గుర్తించగలిగితే అనేక ప్రశ్నలకు నేరుగా సమాధానం కనుగొనవచ్చు. పెద్ద సంఖ్యలను చూసి భయపడకుండా వాటిని చిన్న భాగాలుగా విడదీసి ఆలోచించే అలవాటు చేసుకోవాలి.

సరళీకరణ:

సరళీకరణ ప్రశ్నలు గణితంలో వేగాన్ని పెంచడానికి ఎంతో ఉపయోగపడతాయి. కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం, భిన్నాలు, దశాంశాలు, వర్గాలు, వర్గమూలాలు వంటి అంశాలను నిరంతరం సాధన చేయాలి. బోడ్మాస్‌ పద్ధతిని తప్పనిసరిగా గుర్తుపెట్టుకోవాలి. కుండలీకరణాలు, భాగహారం, గుణకారం, కూడిక, తీసివేత ఏ క్రమంలో చేయాలో స్పష్టంగా తెలుసుకోవాలి.సరళీకరణ ప్రశ్నల్లో ఒక చిన్న క్రమపద్ధతి తప్పితే మొత్తం సమాధానం తప్పిపోయే అవకాశం ఉంటుంది. అందువల్ల వేగంతోపాటు కచ్చితత్వానికి కూడా ప్రాధాన్యం ఇవ్వాలి.

భిన్నాలు, దశాంశాలు:

భిన్నాలను దశాంశాలుగా, దశాంశాలను భిన్నాలుగా మార్చడం తెలిసి ఉండాలి. సాధారణ భిన్నాల కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం వంటి ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి.1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10 వంటి సాధారణ భిన్నాల దశాంశ విలువలను గుర్తుంచుకోవడం ద్వారా కొన్ని ప్రశ్నలను వేగంగా పరిష్కరించవచ్చు.

సగటులు

సగటు అనేది పోటీ పరీక్షల్లో తరచుగా ఉపయోగపడే అంశం. సగటు = మొత్తం విలువలు ÷ విలువల సంఖ్య అనే ప్రాథమిక సూత్రాన్ని గుర్తుపెట్టుకోవాలి.ఒక వ్యక్తి లేదా ఒక సంఖ్య సమూహంలో చేరినప్పుడు సగటు ఎలా మారుతుంది? ఒక వ్యక్తి లేదా సంఖ్యను తొలగించినప్పుడు సగటు ఎలా మారుతుంది? మొత్తం విలువ తెలియనప్పుడు సగటు ఆధారంగా మొత్తం ఎలా కనుగొనాలి? వంటి ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి.సగటు ప్రశ్నల్లో ముందుగా మొత్తం విలువను కనుగొని తరువాత అవసరమైన మార్పును చేయడం సులభమైన పద్ధతి.

నిష్పత్తి–అనుపాతం

నిష్పత్తి, అనుపాతం అంశాలు గణితంలో చాలా ముఖ్యమైనవి. ఇద్దరు వ్యక్తుల వయస్సులు, ఆదాయాలు, ఖర్చులు, పెట్టుబడులు, వస్తువుల సంఖ్యలు తదితరాలను నిష్పత్తుల రూపంలో ఇచ్చి ప్రశ్నలు అడగవచ్చు.

నిష్పత్తిని సరళ రూపంలోకి మార్చడం, నిష్పత్తి ఆధారంగా మొత్తం విలువను విభజించడం, రెండు నిష్పత్తులను కలపడం వంటి అంశాలను సాధన చేయాలి.ఉదాహరణకు ఒక మొత్తాన్ని 2:3 నిష్పత్తిలో ఇద్దరికి పంచాల్సి ఉంటే మొత్తం భాగాలు 5 అవుతాయి. మొత్తం మొత్తాన్ని ఐదు సమాన భాగాలుగా భావించి 2 భాగాలు, 3 భాగాలుగా పంచాలి. ఇలాంటి ప్రాథమిక ఆలోచనను బలంగా చేసుకుంటే క్లిష్టమైన ప్రశ్నలను కూడా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు.

శాతాలు

శాతం అధ్యాయం దాదాపు అన్ని పోటీ పరీక్షల్లో కీలకమైనది. శాతం అంటే వందకు ఎంత అనే అర్థం. శాతం = భాగం/మొత్తం × 100 అనే సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి.మార్కుల శాతం, జనాభా పెరుగుదల, జీతం పెరుగుదల, ధరల పెరుగుదల, ఆదాయం–ఖర్చుల మార్పు వంటి అనేక ప్రశ్నలు శాతాల ఆధారంగా వస్తాయి.ఒక సంఖ్యపై శాతం పెరుగుదల, తరువాత శాతం తగ్గుదల వచ్చినప్పుడు అసలు విలువకు తిరిగి వస్తుందని అనుకోవడం తప్పు. వరుస శాతం మార్పులపై ప్రత్యేక సాధన చేయాలి.శాతం ప్రశ్నల్లో పదాలను జాగ్రత్తగా చదవాలి. “ఎంత శాతం ఎక్కువ?”, “ఎంత శాతం తక్కువ?”, “మొత్తంలో ఎంత శాతం?” వంటి పదబంధాలకు వేర్వేరు అర్థాలు ఉంటాయి.

లాభం–నష్టం

వ్యాపార సంబంధిత సాధారణ ప్రశ్నలకు లాభనష్టం అధ్యాయం ఉపయోగపడుతుంది. కొనుగోలు ధర, అమ్మకపు ధర, లాభం, నష్టం, లాభ శాతం, నష్ట శాతం, తగ్గింపు వంటి అంశాలను స్పష్టంగా తెలుసుకోవాలి.

లాభం = అమ్మకపు ధర − కొనుగోలు ధర.

నష్టం = కొనుగోలు ధర − అమ్మకపు ధర.

లాభ శాతం లేదా నష్ట శాతం సాధారణంగా కొనుగోలు ధరను ఆధారంగా తీసుకుని లెక్కించాలి. తగ్గింపు ఇచ్చిన తరువాత అసలు అమ్మకపు ధర ఎంత? వరుసగా రెండు తగ్గింపులు ఇచ్చినప్పుడు మొత్తం తగ్గింపు ఎంత? వంటి ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి.

సాధారణ వడ్డీ

బ్యాంకింగ్‌ మరియు ఆర్థిక లెక్కలకు సంబంధించిన ప్రశ్నల్లో సాధారణ వడ్డీ ముఖ్యమైనది.

సాధారణ వడ్డీ = అసలు × వడ్డీ రేటు × కాలం ÷ 100.

ఇక్కడ అసలు మొత్తం, వడ్డీ రేటు, కాలం అనే మూడు అంశాల్లో ఏదైనా తెలియకపోతే మిగిలిన వివరాల ఆధారంగా దాన్ని కనుగొనాలి.

సంవత్సరాలు, నెలలు, రోజులు ఇచ్చినప్పుడు కాలాన్ని సరైన రూపంలోకి మార్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం. ప్రశ్నను తొందరగా చదివి లెక్కలోకి దిగకుండా ముందుగా ఏది అసలు? ఏది వడ్డీ రేటు? ఏది కాలం? అని గుర్తించాలి.

చక్రవడ్డీ

చక్రవడ్డీలో వడ్డీపై కూడా వడ్డీ లెక్కించబడుతుంది. సాధారణ వడ్డీతో చక్రవడ్డీ మధ్య తేడాను అభ్యర్థులు స్పష్టంగా తెలుసుకోవాలి.

వార్షికంగా, అర్ధ సంవత్సరానికి ఒకసారి వంటి వివరాలు ఇచ్చినప్పుడు వడ్డీ రేటు, కాలాన్ని తగిన విధంగా మార్చాలి. చక్రవడ్డీ ప్రశ్నలకు నేరుగా సూత్రం ఉపయోగించడంతోపాటు చిన్న కాలాల ప్రశ్నలను దశలవారీగా పరిష్కరించే పద్ధతిని కూడా సాధన చేయాలి.

కాలం–పని

కాలం–పని ప్రశ్నల్లో ఒక వ్యక్తి ఒక పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తాడు? ఇద్దరు లేదా ముగ్గురు కలిసి పనిచేస్తే ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు? వంటి ప్రశ్నలు అడగవచ్చు.

ఒక వ్యక్తి ఒక పనిని 10 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే ఒక రోజులో చేసే పని 1/10గా భావించాలి. మరొక వ్యక్తి అదే పనిని 15 రోజుల్లో చేస్తే అతని ఒకరోజు పని 1/15. ఇద్దరూ కలిసి ఒకరోజులో చేసే పనిని కలిపి, మొత్తం పని పూర్తయ్యే సమయాన్ని కనుగొనాలి.

ఈ అధ్యాయంలో వేగంగా పరిష్కరించడానికి ఎల్‌సీఎం పద్ధతి ఉపయోగపడుతుంది. అయితే పద్ధతి కంటే ప్రశ్నలోని పనిదక్షతను అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం.

పైపులు–ట్యాంకులు

పైపులు–ట్యాంకుల ప్రశ్నలు కూడా కాలం–పని సూత్రాల ఆధారంగానే ఉంటాయి. ఒక పైపు ట్యాంకును నింపడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? మరొక పైపు ఖాళీ చేయడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? రెండూ కలిసి పనిచేస్తే ట్యాంకు నిండటానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? వంటి ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి.

నింపే పైపును అనుకూల పని, ఖాళీ చేసే పైపును ప్రతికూల పని అన్న భావనతో లెక్కించడం సులభం.

కాలం–దూరం

వేగం, దూరం, కాలం మధ్య సంబంధం చాలా ముఖ్యమైనది.

వేగం = దూరం ÷ కాలం.

దూరం = వేగం × కాలం.

కాలం = దూరం ÷ వేగం.

ఈ మూడు సంబంధాలను బలంగా గుర్తుంచుకోవాలి.

రెండు వాహనాలు ఒకదానికొకటి ఎదురుగా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు వాటి సాపేక్ష వేగం ఎలా ఉంటుంది? ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు ఎలా ఉంటుంది? వంటి ప్రశ్నలకు ప్రత్యేక సాధన అవసరం.

రైళ్ల సమస్యలు

రైలు ప్రశ్నల్లో రైలు పొడవు, వంతెన లేదా ప్లాట్‌ఫాం పొడవు, వేగం, సమయం వంటి వివరాలు ఇస్తారు. రైలు ఒక వ్యక్తిని దాటినప్పుడు సాధారణంగా రైలు పొడవును పరిగణించాలి. రైలు ఒక వంతెనను దాటినప్పుడు రైలు పొడవు మరియు వంతెన పొడవు రెండింటినీ పరిగణించాలి.

వేగాన్ని గంటకు కిలోమీటర్ల నుంచి సెకనుకు మీటర్లుగా మార్చే పద్ధతి కూడా తెలుసుకోవాలి.

వయస్సుల సమస్యలు

ప్రస్తుత వయస్సు, గతంలో వయస్సు, భవిష్యత్తులో వయస్సు వంటి ప్రశ్నలను నిష్పత్తి లేదా సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు.

వయస్సుల మధ్య తేడా ఎప్పటికీ మారదు అనే అంశాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి. ఇద్దరి వయస్సుల నిష్పత్తి మాత్రం కాలానుగుణంగా మారుతుంది. ఈ చిన్న విషయాన్ని గుర్తుపెట్టుకుంటే అనేక ప్రశ్నలు సులభమవుతాయి.

భాగస్వామ్య సమస్యలు

పెట్టుబడి, కాలం, లాభం ఆధారంగా భాగస్వాముల వాటాను నిర్ణయించే ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి. పెట్టుబడి మాత్రమే సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఒక విధంగా, పెట్టుబడి కాలం వేర్వేరుగా ఉన్నప్పుడు పెట్టుబడి × కాలం ఆధారంగా వాటాను నిర్ణయించాలి.

దత్తాంశ విశ్లేషణ

పట్టికలు, స్తంభ రేఖాచిత్రాలు, రేఖా చిత్రాలు, వృత్త రేఖాచిత్రాల ద్వారా ఇచ్చిన సమాచారాన్ని చదివి ప్రశ్నలకు సమాధానాలు చెప్పే సామర్థ్యాన్ని పెంచుకోవాలి.

దత్తాంశ విశ్లేషణలో మొదట మొత్తం సమాచారాన్ని చదివి అర్థం చేసుకోవాలి. వెంటనే లెక్కించడం ప్రారంభించకూడదు. ఏ విలువ ఎక్కడ ఉంది? ఏ యూనిట్‌లో ఉంది? ఏ సంవత్సరానికి సంబంధించినది? అనే విషయాలను ముందుగా గుర్తించాలి.

గణితంలో వేగాన్ని ఎలా పెంచాలి?

పోటీ పరీక్షల్లో గణితం చదివినంత మాత్రాన సరిపోదు. నిర్ణీత సమయంలో ప్రశ్నలను పూర్తి చేయగల సామర్థ్యం ఉండాలి.

మొదట ప్రశ్నలను సాధారణ పద్ధతిలో పరిష్కరించాలి. తరువాత అదే ప్రశ్నను తక్కువ దశల్లో ఎలా పరిష్కరించవచ్చో ఆలోచించాలి. క్రమంగా మానసిక లెక్కలు చేయడం అలవాటు చేసుకోవాలి.

1 నుంచి 20 వరకు గుణకార పట్టికలు, వర్గాలు, సాధారణ భిన్నాల విలువలు, శాతం–భిన్నాల సంబంధాలు వంటి వాటిపై మంచి పట్టు ఉంటే లెక్కించే సమయం గణనీయంగా తగ్గుతుంది.

తప్పుల పుస్తకం పెట్టుకోండి

అభ్యర్థులు ప్రత్యేకంగా ఒక “తప్పుల పుస్తకం” నిర్వహించడం చాలా ప్రయోజనకరం. సాధన సమయంలో తప్పుగా వచ్చిన ప్రతి ప్రశ్నను అందులో రాయాలి.

తప్పుకు కారణం ఏమిటో కూడా నమోదు చేయాలి.

లెక్క తప్పిందా?

సూత్రం తప్పుగా ఉపయోగించారా?

ప్రశ్నను తప్పుగా అర్థం చేసుకున్నారా?

సమయం ఎక్కువ పట్టిందా?

ఇలా కారణాన్ని గుర్తిస్తే అదే తప్పు మళ్లీ జరగకుండా జాగ్రత్త పడవచ్చు.

రోజువారీ సాధన

రోజుకు కనీసం 60 నుంచి 90 నిమిషాలు గణితానికి కేటాయించాలి.

మొదటి 20 నిమిషాలు సూత్రాల పునశ్చరణకు కేటాయించాలి. తరువాత 30–40 నిమిషాలు ఒక నిర్దిష్ట అంశంపై ప్రశ్నలు సాధన చేయాలి. చివరి 20–30 నిమిషాల్లో సమయ పరిమితితో ప్రశ్నలను పరిష్కరించాలి.

ఒకరోజు శాతాలు చదివి మరుసటి రోజు లాభనష్టం, తరువాత రోజు కాలం–పని, ఆ తరువాత కాలం–దూరం వంటి విధంగా అంశాలను మార్చుకుంటూ చదవడం మంచిది.

వారానికి ఒకసారి పరీక్ష

ప్రతి వారం కనీసం ఒక పూర్తి గణిత మాదిరి పరీక్ష రాయాలి. పరీక్ష రాయడం మాత్రమే కాకుండా అనంతరం విశ్లేషణ చేయాలి.

ఎన్ని ప్రశ్నలు సరైనవి?

ఎన్ని తప్పాయి?

ఎన్ని ప్రశ్నలకు సమయం ఎక్కువ పట్టింది?

ఎన్ని ప్రశ్నలు తెలియక వదిలేశారు?

అనే అంశాలను నమోదు చేయాలి.

తప్పిన ప్రశ్నలను మరుసటి రోజు మళ్లీ సాధన చేయాలి.

ప్రశ్నను ఎలా చదవాలి?

పోటీ పరీక్షలో చాలాసార్లు ప్రశ్న తెలియక కాకుండా ప్రశ్నను సరిగ్గా చదవకపోవడం వల్ల తప్పుతుంది. కాబట్టి ప్రశ్నలోని ముఖ్యమైన పదాలను గుర్తించాలి.

“కనీసం”, “గరిష్ఠం”, “మొత్తం”, “తేడా”, “ఎంత శాతం”, “ఎన్ని రోజుల్లో”, “మిగిలినది” వంటి పదాలపై ప్రత్యేక దృష్టి పెట్టాలి.

ఒక ప్రశ్నను రెండుసార్లు చదివే పరిస్థితి రాకుండా మొదటిసారి జాగ్రత్తగా చదవడం అలవాటు చేసుకోవాలి.

సూత్రాల కంటే భావన ముఖ్యం

సూత్రాలను కంఠస్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరమే. కానీ సూత్రం ఎందుకు పనిచేస్తుందో అర్థం చేసుకోవడం ఇంకా ముఖ్యమైనది.

ఉదాహరణకు శాతం ప్రశ్నలో ఒక విలువను ఎందుకు 100తో భాగించాలి? సగటులో మొత్తం విలువను ఎందుకు సంఖ్యల సంఖ్యతో భాగించాలి? కాలం–పని ప్రశ్నలో ఒకరోజు పనిని ఎందుకు తీసుకోవాలి? వంటి విషయాలను అర్థం చేసుకుంటే కొత్త నమూనా ప్రశ్న వచ్చినా పరిష్కరించగలరు.

- సరికొండ లెనిన్ బాబు

గణిత అధ్యాపకులు, సిరిపురం ప్రభుత్వ జూనియర్ కళాశాల,సత్తెనపల్లి మండలం, గుంటూరుజిల్లా.

సెల్ : 9985476035